数学トレーナー@こうへい

1ヶ月で数学の偏差値を25アップした僕の勉強法を発信するブログです。

これであなたも約分マスター？複雑な分数も約分できる方法

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

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突然ですか、

\frac{10033}{12877}

この分数をみて

約分できそうですか？

 

大きい数の約分が苦手！

もっと楽に約分する方法

何かないの？

 

なんて思っている方

多いのではないでしょうか？

 

そして、結局いつも

とても時間がかかってしまう...

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この記事では

そんな皆さんに

ぜひ知っておいてほしい

約分の方法をお伝えします

 

分数の約分は

一番最後に必ず

しなくてはならないです

 

そこであまり時間をかけず

計算できたら

最高ですよね？

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今回紹介する方法を習得して

どんな分数でも

絶対約分できるように

なってやりましょう！

 

そんな自信をこの記事で

つけていきませんか？

 

さて、ここまで話してきた

方法それは・・・

 

ユークリッドの互除法です

 

ユークリッドの互除法では

以下の性質を使い

最大公約数を求めることで

分数を約分します

 

・性質

等式：a\quad=bq\quad+rにおいて、

「aとbの最大公約数」が

「bとrの最大公約数」と等しい

 

言葉でみるだけでは

イメージしずらいと

思うので、例とともに

解説していきます

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例

ユークリッドの互除法を使って

\frac{273}{390}を約分します

 

STEP1

まず、３９０を２７３で割ると

商が１であまりが１１７です

３９０＝２７３・１＋１１７

よって、性質より

 

「３９０と２７３の最大公約数」

と「２７３と１１７の最大公約数」

が等しい

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STEP2

次に、２７３を１１７で割ると

２７３＝１１７・２＋３９

よって、性質より

 

「２７３と１１７の最大公約数」

と「１１７と３９の最大公約数」

が等しい

 

STEP3

次に、１１７を３９で割ると

１１７＝３９・３＋０

割り切れました

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つまり、

「１１７と３９の最大公約数」

の３９が

「３９０と２７３の最大公約数」

になります

 

よって、

\frac{273}{390}=\frac{7}{10}

と約分できます

 

このように

ユークリッドの互除法を

利用すると

 

これがいくら大きい数でも

約分できるのです！

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この方法はやってみると

結構楽しいので

皆さんこの記事の

最初にお聞きした分数

ぜひ約分してみてください！

 

ユークリッドの互除法を

使って、どんな分数も

約分できるように

なりましょう！

 

それではまた

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

どういう意味？確率の用語

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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突然ですが

確率の用語って

意味が分からないものが

多くないですか？

 

排反ってなに？

独立ってなに？

なんて思いませんか？

 

普段の生活で

排反なんて使わないし...

 

この記事では

知っているだけで

確率を理解するのに

役立つ用語をお伝えします

 

数学の学習において、

用語を正しく理解することは

解答解説の理解度を

格段に上げることができます

 

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解答解説の理解度を

上げることは

そのまま数学の偏差値アップに

繋がっていきます

 

また、正しく用語を

使えるようになると

記述問題にも

強くなるのです。

 

確率が苦手な人生から

卒業しましょう！

 

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今回は確率の用語の中でも

特に意味が理解しずらい

２つを紹介していきます

 

・排反とは？

 

定義

「同時に起こらない」

事象のこと。

「互いに排反である」は

「同時に起こることがない」

ということ。

 

一番わかりやすい例として

 

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コインを投げるときに

「表が出る」確率と

「裏が出る」確率が

排反であるといえます。

 

これは表と裏が同時に出る

なんてことは起こらない

ですよね？

 

・独立とは？

 

定義

２つの事象のどれも

起こる確率がそれぞれ

確率の積に等しくなっている

 

定義だけ見ても

理解しずらいと思うので

 

「独立である」例

「独立でない」例

を紹介しながら

解説していきます

 

独立である例

 

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１０本くじの中に

当たりくじが３本ある

Aさんが最初に１枚

くじを引いて

 

確認してくじを戻す

その後にBさんも

１枚くじを引く。

 

この問題の場合

AさんもBさんも

当たりを引く確率が

\frac{3}{10}になり

 

Aさんの結果によって

Bさんの結果は影響を

受けないので

独立であるといえます

 

独立でない例

 

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１０本くじの中に

当たりくじが３本ある

Aさんが最初に１枚

くじを引いて

 

元に戻さず

Bさんが1枚引く

 

この問題の場合

Aさんの結果によって

Bさんの確率が

変わってくるので

 

独立ではない

ということになります

 

いかがでしょうか？

 

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この知識を

しっかりと定着させる

ためにも、

 

自分で問題を解いてみること

がとても大切になります

 

基礎的な問題でいいので

ぜひ取り組んでください

 

きっとこれからの

数学人生に

役立つはずです！

 

それではまた

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

 

ひと工夫で中学レベルに？虚数問題の裏ワザ

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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皆さんは

虚数の計算問題は

得意ですか？

 

全然イメージ出来ない！

何度やってもミスする！

 

なんて思う人が

意外と多いのです

 

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でも大丈夫！

 

今回紹介する裏ワザを

身につければ

 

こんなに簡単なんだ！

これならもう

ミスの心配がない！

 

と思ってもらえるはずです！

 

この裏技を知らないまま

 

虚数問題から

目を背け続けますか？

 

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今回紹介する裏ワザを

知ってレベルアップ

しましょうね！

 

それでは

今回紹介する裏ワザ

 

それは...

 

虚数単位iをxに

置き変えて計算し、その後

iに戻すというものです

 

と、方法だけ聞いても

理解しずらいと思うので

具体的に例題を解きながら

解説していきます

 

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例題

(3+2i)(8-5i)を計算しなさい

 

解説

これを先ほど紹介した

iをxに置き換える

という方法を

利用して解きます

 

(3+2x)(8-5x)

 

こうすると、中学数学の

問題にまでレベルを

下げることができます

 

24+16x-15x-10x^2

 

そしてxをiに戻します

この時に注意してほしいこと

それはi^2=-1ということです

これに注意して戻すと

 

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24+16i-15i+10

=34+i

 

このように簡単に解が出ます

 

どうですか？

この方法を使えば

中学数学の計算問題を

解く感覚で解ける

 

そう思いませんか？

 

この解説が理解できた方は

まずは基本的な問題で

構わないので

 

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この方法を使えば

本当に簡単に解ける！

そんな体験を

してみてください

 

そしてこれを機に

虚数の問題は絶対に

落とさないイージー問題

にしてやりましょう！

 

それではまた

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

組み合わせ問題が苦手な高校生必見！攻略の手順～組み合わせ王への道～

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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今回はタイトル

にもあるように

 

高校生がつまづきやすい

組み合わせ問題について

解説していきたいと

思います

 

この単元はどうしても

 

詰まってしまう

高校生が多くいるので

 

そもそも組み合わせって何？

ややこしくて

全然理解できない！

 

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なんて思っている

方のために

 

組み合わせ問題を

 

初歩の初歩から

丁寧に解説したいと

思います

 

皆さんこの記事を

読んで

 

組み合わせの問題が

簡単になった！

もっと難しい問題に

挑戦してみたい！

 

と思えるように

なりましょう！

 

読まないで

問題を解くこと

になってしまうと

 

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やっぱり全然わからない

もう問題を見るのも

いやになった

 

こんなことになってしまう

かもしれないので

 

ぜひ最後まで

読んでいって

くださいね！

 

では、さっそく

本題に入りましょう

 

組み合わせ問題を

 

解けるようになる際に

最も重要なこと

 

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それは

定義をしっかり確認する

ことです

 

確認しましょう

 

組み合わせとは、

n個の異なる要素から

r個の要素を

順序を考慮せずに

選ぶ方法のことを言います

 

そして

問題ではその場合の数

を利用します。

 

その際、

_nC_rと表記します

 

これがよく見る

計算の部分ですね

 

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ではこれからは

例題を用いて解き方の

手順を解説していきます

 

例題

 

８人の中から３人を選ぶ

場合の数は何通りか？

 

STEP１

問題文を読み取り

何が求められているか

明確にする

 

この問題では

 

８人の中から３人を

選ぶ場合の数を

求めることが

これに当たります

 

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STEP2

組み合わせの定義に

従って、

必要な値を求める

 

この場合、

８人の中から３人を

選ぶ方法の数を

 

求める必要があります

 

よって

先ほど確認した定義から

求める数は

 

_8C_3

と表されます

 

実際にこれを解くと

 

_8C_3\quad=\quad\frac{8!}{3!\cdot(8-3)!}

 

このようになります

 

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ここで階乗（！）

について触れておきます

 

階乗というのは

 

1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\quad=\quad8!

 

このように積の形を

より簡単に表記する

方法になっています

 

今回はわかりやすいように

積の形に戻して

解きたいと思います

 

\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)\cdot(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}

=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}

=56

 

このように

解答が５６となります

 

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これが

一般的な組み合わせ

の問題になります

 

そして

これを基礎とし

 

実際は選ぶものが

区別できるか

や

重複があるか

 

によって

様々な応用問題があります

 

しかし

今回は初歩の初歩、

基礎の問題の解説

をしました

 

まずは基礎を固める

 

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応用問題は

基礎が十分に

なってからで構いません

 

この記事を見ながら

でも

 

組み合わせの基礎問題

に挑戦してみてください

 

きっと今までより

簡単に解けるように

なっているはずです！

 

それでは

 

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

覚えてる？基本的な数列3種について解説

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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皆さん

数列について

どれほど

理解できていますか？

 

数列は簡単だから

まだ手をつけていない

 

なんて思っている人！

気を抜いていると

数列に足元すくわれますよ！

 

ここで

1度復習しておくことで

 

より難しい数列を

扱う時の

土台を作りませんか？

 

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そして

今つまづいている人も

この記事を読んで

 

基礎を理解して

もう一度

挑戦してみましょう！

 

 

それでは

 

本当に基本的な

初期に習う数列を

 

3つ紹介＆解説

していきたいと思います

 

ひとまず

数列とは何か

から

 

解説していきます

 

数列とは、

 

特定のルールに従って

並べられた数字の集まり

のことを指します

 

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なんか簡単だな

そう思いませんか？

 

そうなんです

 

実は数列は

こんなに簡単な所から

スタートしているのです

 

このことを頭に入れて

これから紹介する

3つを見てみてください

 

1つ目

 

等差数列

 

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等差数列は隣り合う項

の差が一定の値になる

数列のことです

 

{a_1}\quad,\quad{a_1}+d\quad,\quad{a_1}+2d\quad,\quad{a_1}+3d\quad,\quad{a_1}+4d\quad ...

 

このように表されます

 

ここで、{a_1}は初項（最初の項）、

dは公差（一定の値）と

呼ばれる差を

表します

 

例えば、以下のような

数列は

等差数列になります

 

１、４、７、１０、１３

 

これは

初項が１、公差が３の

等差数列になっています

 

等差数列、

名前の通り

の数列ですね！

 

２つ目

 

等比数列

 

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等比数列は

隣り合う項の比が

常に一定である

数列です

 

{a_1}\qquad,\qquad{a_1}r\qquad,\qquad{a_1}r^2\qquad,\qquad{a_1}r^3\qquad...

 

このように表されます

 

ここで、{a_1}は同じく初項

{a_1}は公比（一定）と

表します

 

例えば、このような

数列が等比数列になります

 

３、６、１２、２４、４８...

 

これは

初項が３、公比が２の

等比数列です

 

これもその名の通りの

数列って感じですね！

 

３つ目

 

階差数列

 

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階差数列は

隣り合う項の差とって

作られる数列のことです

 

具体的には

最初の数列を

 

{a_1}\quad,\quad{a_2}\quad,\quad{a_3}\quad,\quad...

 

とし、

 

隣り合う項の差を

とって作られた

新しい数列を

 

{b_1}\quad,\quad{b_2}\quad,\quad{b_3}\quad,\quad...

 

とすると

以下のように

表されます

 

{b_1}\quad=\quad{a_2}\quad-\quad{a_1}

{b_2}\quad=\quad{a_3}\quad-\quad{a_2}

{b_3}\quad=\quad{a_4}\quad-\quad{a_3}

...

 

そして

この階差数列は、

 

元の数列の

傾向やパターンを

見つけるのに

役に立ちます

 

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もし

一目で数列の規則が

わからない場合、

 

この階差数列を

試してみてください

 

例えば、次のような

数列が階差数列になります

 

最初の数列・・・１、４、９、１６、２５

新しい数列・・・３、５、７、９、１１

 

となり

新しい数列が

初項３、公差２の

等差数列だということが

わかります

 

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今回紹介する数列は

以上になります

 

知ってたという方は

いい復習に！

 

これを見て思い出した

方は

強固な記憶に！

 

これから習うという

方は

いい予習に！

 

なったかと思います

 

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また、

数列につまづいた

方はもう一度

この記事を読みに

戻ってきてみてください

 

そして

数列の知識を

より長期的なものに

するため、

 

今すぐに

数列の問題を

解いてみてください

 

これからのあなたに

役立つはずです

 

それでは

 

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

 

 

実は超万能公式？これさえ覚えればどんな公式も導出できる三角関数の父

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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皆さん

三角関数は得意ですか？

 

三角関数は公式が多くて

覚えるのがめんどくさい！

 

普段使わないから

イメージしずらい！

 

なんて思っている人

多くないですか？

 

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そんな人たちは

 

今回紹介する

万能公式と

その使用法

 

を手に入れて

 

もう公式を忘れるのは

怖くない！

 

三角関数マスター

になってやりましょう！

 

この公式と

使用法を知らずに

 

公式を忘れて

点数を落とした

 

三角関数で

手いっぱいで

他の単元が全然、

 

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なんて道をたどるのは

絶対いや！

ですよね？

 

さて、

ではその公式とは・・・

 

ズバリ！

加法定理です

 

皆さん

一度は目にしたことが

あるであろう

 

この加法定理

 

実はほかの公式を

導出できる

 

万能公式なんです！

 

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まず、加法定理とは

\sin(x \pm y)= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y

\cos(x \pm y)= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y

\tan(x \pm y)= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}

 

この公式のことを指します

 

そして

なぜ僕が万能公式と

呼んでいるのか

 

先ほどお話しした通り

この公式は

 

他の公式の導出に

利用できるからです

 

代表的なものを

いくつか紹介したい

と思います

 

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１つ目

 

二倍角の公式

 

この公式は

加法定理を利用すれば

導出することができます

 

二倍角の公式とは

\sin 2x=2\sin x \cos x

\cos 2x=1-2\sin ^2 x=2\cos ^2 x -1

\tan 2x= \frac{2\tan x}{1- \tan ^2 x}

 

この３つの式の総称です

 

これを見て

気づいた人も

いるのではないでしょうか

 

そうです！

 

加法定理のyにxを

代入することで

二倍角の公式を

導出できるのです！

 

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二つ目

 

三倍角の公式

 

この公式も

加法定理を利用すると

導出できます

 

三倍角の公式とは

 

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin ^3 x

\cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x

\tan 3x = 3\tan x - \frac{\tan ^3 x}{1 - 3\tan ^2 x}

 

この３つの式の総称です

 

どうです？

気づきましたか？

 

そうです！

 

これは加法定理のyに2x

を代入し、

 

出てきた2xの部分は

二倍角と同じように

展開すると

 

三倍角の公式も

導出できます！

 

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このように加法定理を

利用すると

 

角度がたとえ

４倍、５倍、

１０倍だったとしても

 

求めることが

できるのです

 

これだけではありません

 

これを使えば

半角の公式

さえも

導出できてしまいます

 

この方法は

自在に操れると

 

とても強い武器になるので

 

ぜひ、理解しましょう

 

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まず、半角の公式は

\sin ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 - \cos x}{2}

\cos ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 + \cos x}{2}

\tan ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}

 

この３つの式の総称です

 

今回は

\cos ^2 (\frac{x}{2})の導出方法を

解説したいと思います

 

利用する加法定理は

 

\cos (\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\cos ^2 (\frac{x}{2}) - \sin ^2 (\frac{x}{2})

\cos(\frac{x}{2} - \frac{x}{2})=\cos ^2 (\frac{x}{2}) + \sin ^2 (\frac{x}{2})

 

この２つの式です

 

この２つの式を

左辺同士、右辺同士で

足すと

 

\cos x + 1 =2\cos ^2 (\frac{x}{2})

 

となります

そして

半角の公式に

近づけるため

 

右辺と左辺を入れ替え

整理すると

 

cos ^2 (\frac{x}{2}) = \frac{\cos x + 1}{2}

 

となり

半角の公式の

２つ目の式と

 

全く同じになりました！

 

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同じようにすれば

残りの２つの式も

導出することが可能です

 

皆さんもぜひ

今回紹介した

３つの導出を

 

実際にノートに

書き出してみて

 

本当にできる！という

確信をもって

 

これからのテストで

使える武器として

装備してみてください！

 

それでは

 

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。

急に難易度が上がった？空間ベクトルを克服するコツ

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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皆さんは

 

空間ベクトルに対して

どんなイメージを

持っていますか？

 

平面ベクトルは

計算だけで余裕だったのに

空間ベクトルで

急に難しくなった？

 

 

立体が

全然理解できない！

 

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なんて思っている人が

いるのではないでしょうか

 

今回はそんな人が

 

これを知ってから

空間ベクトルへの

苦手意識がなくなった！

 

空間ベクトルを

楽に解けるようになった！

 

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となるような

 

考え方、解き方を

紹介したいと思います

 

これを知らないと

 

いつまでたっても

空間ベクトルが解けない！

 

初めは簡単だと

思っていたのに

だんだんわからなくなった

 

こんな状態に

陥ってしまうかもしれません、

 

そうならないためにも

 

今回紹介する

考え方をマスターしましょう！

 

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空間ベクトルの問題を

解く際に

注意してほしいこと

 

一つ目は

 

大きく立体的に

図を描くこと

です

 

まずは

問題文から

 

しっかりイメージできる

図を描くことが

最も重要です

 

これだけでも

問題の解きやすさが

大きく変わってきます

 

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２つ目は

 

立体を

平面に変えること

です

 

一見

なにを言っているんだ、

 

となってしまう

この考え方ですが、

 

僕が一番伝えたいのは

この考え方です

 

そもそも

空間ベクトルが

平面ベクトルより

 

難しい

そう感じてしまうのは

 

二次元から

三次元へと

なってしまうからなのです

 

それを解決しないと

 

空間ベクトルへの

苦手意識は

なくなりません！

 

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そのためにも

 

立体から

平面へと

次元を落とす必要が

あります

 

では、実際にどのように

次元を落とすのか、

 

それは

 

立体を平面で切る

という方法です

 

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立体は視点に

よって

平面ととらえることが

できるのです

 

このようにして

次元を落とせば

 

皆さんがこれまで

培ってきた

平面ベクトルの知識を

 

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そのまま

空間ベクトルにも

利用することが

できるのです

 

まずは

一つ目の

 

大きく立体的に

図を描くこと

から始めてみましょう

 

きっと

空間ベクトルが

平面ベクトル並みに

解ける！

 

そんな未来が

待っているはずです

 

それでは

 

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。