数学トレーナー@こうへい

1ヶ月で数学の偏差値を25アップした僕の勉強法を発信するブログです。

もうこれで迷わない！公式から見る余弦定理と正弦定理の使うタイミング

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

突然ですが皆さん

余弦定理、正弦定理

を知っていますか？

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これは、高校数学の

図形と計量という単元で

登場した公式です

 

でもこの公式を覚えても

どんな問題でいつ使うの？

どっちを使えばいいの？

と迷うことありませんか？

 

この記事では

そんな人たちのために

 

余弦定理、正弦定理を

どんな問題で

どのタイミングで

使うのか、

 

これを解説していきます

 

これを知らないと

ずっと迷い続ける

どころか

間違った方を使う

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なんてことに

なってしまうかもしれません

 

ぜひこの記事を読んで

ばっちりどんな問題で

使うか理解できている

そんな状態になりましょう！

 

それではさっそく

解説していきます

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・正弦定理

 

△ABCにおいて、

AB＝c、BC＝a、CA＝b

∠ABC＝B、∠BCA＝C、∠CAB＝A

△ABCに外接する円の半径をR

とするときに

 

\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R

 

と表せれる式のことを言います。

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この式から分かるように

三角形の辺の長さ、

それに対応する角の正弦

さらに外接円の半径

 

これを利用している

ということになります

 

つまり、３つの角度が分かると

３辺の比が分かる

 

３辺の比が分かっていれば、

３つの角度の

正弦比が分かる

 

となっています

 

・余弦定理

 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}

a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}

b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}

 

この３つの式で表されます

 

そして、これは

三角形の辺の長さが３つ

角が１つを利用している

ということになります

 

つまり、２つの辺の長さと

その間の角の余弦が

わかっているときに

残りの辺の長さがわかる

 

３つの辺の長さが

分かっているときに

ある角の余弦が分かる

 

となります

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以上のことより、

 

・３つの辺の長さが

　分かっている

 

１、正弦の比を知りたい場合

　　正弦定理

 

２、角の大きさを知りたい場合

　　余弦定理

 

・３つの辺の長さと

　１つの角の大きさ

　が分かっている

 

１、外接円の半径を知りたい

　　正弦定理

 

２、ほかの角の大きさを

　　知りたい場合

　　余弦定理or正弦定理

 

・２つの辺の長さと

　１つの角の大きさが

　わかっている

 

１、残りの辺の長さを

　　知りたい場合

　　余弦定理

 

２、その他の角の大きさ

　　を知りたい場合

　　正弦定理

 

とこのように分類

区別できます

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これらに当てはまらない

問題の場合は

２つの公式を組み合わせて

問題を解きます

 

以上が一般的な

正弦定理、余弦定理を

使うタイミングになります

 

本当に当てはまるか

実際に参考書の

図形と計量の問題を

解いてみてください

 

これからは迷わず

解けるように

なりましょうね！

 

それではまた

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。