数学トレーナー@こうへい

1ヶ月で数学の偏差値を25アップした僕の勉強法を発信するブログです。

実は超万能公式？これさえ覚えればどんな公式も導出できる三角関数の父

こんにちは！

数学トレーナーのこうへいです

 

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皆さん

三角関数は得意ですか？

 

三角関数は公式が多くて

覚えるのがめんどくさい！

 

普段使わないから

イメージしずらい！

 

なんて思っている人

多くないですか？

 

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そんな人たちは

 

今回紹介する

万能公式と

その使用法

 

を手に入れて

 

もう公式を忘れるのは

怖くない！

 

三角関数マスター

になってやりましょう！

 

この公式と

使用法を知らずに

 

公式を忘れて

点数を落とした

 

三角関数で

手いっぱいで

他の単元が全然、

 

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なんて道をたどるのは

絶対いや！

ですよね？

 

さて、

ではその公式とは・・・

 

ズバリ！

加法定理です

 

皆さん

一度は目にしたことが

あるであろう

 

この加法定理

 

実はほかの公式を

導出できる

 

万能公式なんです！

 

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まず、加法定理とは

\sin(x \pm y)= \sin x \cos y \pm \cos x \sin y

\cos(x \pm y)= \cos x \cos y \mp \sin x \sin y

\tan(x \pm y)= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}

 

この公式のことを指します

 

そして

なぜ僕が万能公式と

呼んでいるのか

 

先ほどお話しした通り

この公式は

 

他の公式の導出に

利用できるからです

 

代表的なものを

いくつか紹介したい

と思います

 

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１つ目

 

二倍角の公式

 

この公式は

加法定理を利用すれば

導出することができます

 

二倍角の公式とは

\sin 2x=2\sin x \cos x

\cos 2x=1-2\sin ^2 x=2\cos ^2 x -1

\tan 2x= \frac{2\tan x}{1- \tan ^2 x}

 

この３つの式の総称です

 

これを見て

気づいた人も

いるのではないでしょうか

 

そうです！

 

加法定理のyにxを

代入することで

二倍角の公式を

導出できるのです！

 

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二つ目

 

三倍角の公式

 

この公式も

加法定理を利用すると

導出できます

 

三倍角の公式とは

 

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin ^3 x

\cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x

\tan 3x = 3\tan x - \frac{\tan ^3 x}{1 - 3\tan ^2 x}

 

この３つの式の総称です

 

どうです？

気づきましたか？

 

そうです！

 

これは加法定理のyに2x

を代入し、

 

出てきた2xの部分は

二倍角と同じように

展開すると

 

三倍角の公式も

導出できます！

 

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このように加法定理を

利用すると

 

角度がたとえ

４倍、５倍、

１０倍だったとしても

 

求めることが

できるのです

 

これだけではありません

 

これを使えば

半角の公式

さえも

導出できてしまいます

 

この方法は

自在に操れると

 

とても強い武器になるので

 

ぜひ、理解しましょう

 

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まず、半角の公式は

\sin ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 - \cos x}{2}

\cos ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 + \cos x}{2}

\tan ^2 (\frac{x}{2})=\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}

 

この３つの式の総称です

 

今回は

\cos ^2 (\frac{x}{2})の導出方法を

解説したいと思います

 

利用する加法定理は

 

\cos (\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\cos ^2 (\frac{x}{2}) - \sin ^2 (\frac{x}{2})

\cos(\frac{x}{2} - \frac{x}{2})=\cos ^2 (\frac{x}{2}) + \sin ^2 (\frac{x}{2})

 

この２つの式です

 

この２つの式を

左辺同士、右辺同士で

足すと

 

\cos x + 1 =2\cos ^2 (\frac{x}{2})

 

となります

そして

半角の公式に

近づけるため

 

右辺と左辺を入れ替え

整理すると

 

cos ^2 (\frac{x}{2}) = \frac{\cos x + 1}{2}

 

となり

半角の公式の

２つ目の式と

 

全く同じになりました！

 

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同じようにすれば

残りの２つの式も

導出することが可能です

 

皆さんもぜひ

今回紹介した

３つの導出を

 

実際にノートに

書き出してみて

 

本当にできる！という

確信をもって

 

これからのテストで

使える武器として

装備してみてください！

 

それでは

 

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最後までお読みいただき

ありがとうございました。